上海浦东新区民办致远中学
初三数学学科上期末卷
（时间100分钟 满分150分）
考生注意：
1．本试题含三个大题，共25题；答卷时，考试务必按答卷需要在答卷纸规定的地方上作答，在草稿纸、本试题上答卷一律无效；
2．除1、二大题外，其余各题如无特不要说明，都需要在答卷纸的相应地方上写出证明或计算的主要步骤
一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．在
△
中，
，
，
，那样
等于（ ）
．
； 
．
； 
．
； 
． 
．
2．将抛物线
沿
轴向上平移1个单位后所的抛物线的分析式是（ ）
．
； ．
； ．； ． ．
3．坡比等于
的斜坡的坡角等于（ ）
．
； ．
； ．
； ． 
．
4．关于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ）
．开口向下； ．最低点是
；
．对称轴是直线
； ．对称轴的右边部分是上升的．
5．如图1，
、
相交于点
，下列条件中能判断∥
的是（ ）
．
；
．；
．
；
． 
．
6．如图2，在△中，，
垂足为，那样下列结论错误的是（ ）
．
；
．
；
．
；
． ．
2、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：__________．
__________
8．计算：
__________．
9．抛物线与轴的交点坐标是__________．
10．假如两个相似三角形对应角平分线的比是
，那样它们对应高的比是__________．
11．如图3，已知∥∥
，
，
，那样
__________．
12．点是线段上的一点，
，点
、分别是线段、的中点，那样
等于__________．
13．抛物线过
和两点，那样该抛物线的对称轴是__________．
14．在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，假如
与轴正半轴的夹角为，那样__________．
15．小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，他此时测得旗杆在同一地面的影长为12米，那样旗杆高为__________米．
16．抛物线与轴交于点、（点在点的左边），与轴交于点，且，，那样的值是__________．
17．两个等腰直角三角形
和
的地方如图4所示，点、、
和点、、分别在一直线上，，，，点、分别是△、△的重点，联结
，那样__________．
18．在△中，，
，
，点是斜边的中点，把绕点旋转，使得点落在射线上，点落在点
，那样的长是__________．
3、解答卷：（本大题共7题，第19——22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）
19．（本题满分10分）
抛物线经过点
、
两点．
（1）求抛物线顶点的坐标；
（2）抛物线与轴的另一交点为，求△的面积．
20．（本题满分10分）
如图5在△中，点是边的中点，
，．
（1）求的长；
（2）设，，求向量
（用向量
、表示）．
21．（本题满分10分）
如图6，在△中，平分交于点，过点作∥交于点．
（1）求证：；
（2）假如，，，求的长．
22．（本题满分10分）
如图7，小岛正好在深水港口的东南方向，一艘集装箱货船从港口出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后再处测得小岛在它的南偏东
方向，求小岛离开深水港口的距离（精准到0.1千米）．参考数据：，
，
，，
．
23．（本题满分12分）
“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2倍的三角形）进行研究，得出结论：如图8在中，、、的对边分别是、
、，假如，那样．下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明办法．
已知：如图9，在△中，，
．求证：．
证明：如图9，延长到，使得
．
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴
．
又
，
∴△△
．
∴，即
．
∴．
依据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的办法也可以）；
已知：如图8，在△中，．
求证：．
24．（本题满分12分）
抛物线与轴正半轴交于点，与轴分别交于点和点且．
（1）求抛物线的分析式；
（2）点是轴上一点，当和相似时，求点的坐标．
25．（本题满分14分）
梯形中，∥，，
，，，点是边的中点，点是边上的动点．
（1）如图10，求梯形的周长；
（2）如图11，联结，设，（是锐角），求关于的关系式及概念域；
（3）假如直线与直线交于点，但时，求的长．
